设A、B为同阶方阵，则A与B相似的充分条件是( )

admin2017-03-08 48

问题设A、B为同阶方阵，则A与B相似的充分条件是( )

选项 A、秩(A)=秩(B)．
B、｜A｜=｜B｜．
C、A、B有相同的特征多项式．
D、A、B有相同的特征值λ₁，λ₂，…，λ_n，且λ₁，λ₂，…，λ_n两两不同．

答案D

解析当n阶方阵有n个互不相同特征值时．它也相似于对角矩阵．故在选项(D)的条件下，存在适当的可逆矩阵P、Q，使P^—1AP=D，Q^—1BQ=D，其中D=diag(λ₁，λ₂=1，…，λ_n)为对角矩阵．故有P^—1AP=Q^—1BQ，→QP^—1APQ^—1=B，→(PQ^—1)^—1A(PQ^—1)=B，记矩阵M=PQ^—1，则M可逆，且使M^—1AM=B，所以在选项(D)的条件下，A与B必相似．

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