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求函数f(x)=∫0x2(2-t)e-tdt的最值.
求函数f(x)=∫0x2(2-t)e-tdt的最值.
admin
2019-06-28
77
问题
求函数f(x)=∫
0
x
2
(2-t)e
-t
dt的最值.
选项
答案
由于f(x)是偶函数,我们只需考察x∈[0,+∞).由变限积分求导公式得 f’(x)=2x(2-x
2
)e
-x
2
. 解f’(x)=0得x=0与x=[*],于是 [*] 从而,f(x)的最大值是[*]=∫
0
2
(2-t)e
-t
d t=∫
0
2
(2-t)de
-t
=(t-2)e
-t
|
0
2
-∫
0
2
e
-t
dt =2+e|
0
2
=1+e
-2
. 由上述单调性分析,为求最小值,只需比较f(0)与[*]的大小.由于 [*]=∫
0
+∞
(2-t)e
-t
dt=[(t-2)e
-t
+e
-t
]|
0
+∞
=1>f(0)=0. 因此f(0)=0是最小值.
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/qYV4777K
0
考研数学二
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