2. 考研
  3. 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)＝f(2)＝0，且｜f’(x)｜≤2．证明： ｜∫02f(x)dx｜≤2．

设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)＝f(2)＝0，且｜f’(x)｜≤2．证明： ｜∫02f(x)dx｜≤2．

admin2017-12-31  32
问题 设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，f(0)＝f(2)＝0，且｜f’(x)｜≤2．证明：
｜∫02f(x)dx｜≤2．
选项
答案由微分中值定理得f(x)－f(0)＝f’(ξ1)x，其中0＜ξ1＜x， f(x)－f(2)＝f’(ξ2)(x－2)，其中x＜ξ2＜2，于是[*]， 从而｜∫02f(x)dx｜≤∫02｜f(x)｜dx＝∫01｜f(x)｜dx＋∫12｜f(x)｜dx ≤∫012xdx＋∫122(2－x)dx＝2．
解析
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考研数学三

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