2. 考研
  3. 设A，B均为n阶方阵，A有n个互异特征值，且AB=BA．证明：B能相似于对角矩阵．

设A，B均为n阶方阵，A有n个互异特征值，且AB=BA．证明：B能相似于对角矩阵．

admin2020-04-30  44
问题 设A，B均为n阶方阵，A有n个互异特征值，且AB=BA．证明：B能相似于对角矩阵．
选项
答案因A有n个互异特征值，所以存在可逆矩阵P，使 [*] 其中λ1，λ2，…，λn是A的特征值，且λi≠λj(i≠j)．于是，根据题设AB=BA，得 (P-1AP)(P-1BP)=P-1ABP=P-1BAP=(P-1BP)(P-1AP)， 即 Λ(P-1BP)=(P-1BP)Λ． 令P-1BP=(cij)n×n，代入上式，有 [*] 比较两边元素得λicij=λjcij，即(λi-λj)cij=0．由此有cij=0(i≠j)，故 [*]
解析 本题考查矩阵相似对角化的条件．
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考研数学一

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