2. 考研
  3. (I)设随机变量x服从指数分布e(λ)，证明：对任意非负实数s及t，有 P(X≥s+t|X≥s)=P(X≥t)． 这个性质叫做指数分布的无记忆性． (Ⅱ)设电视机的使用年数X服从指数分布e(0．1)，某人买了一台旧电视机，求还能使用5年以上

(I)设随机变量x服从指数分布e(λ)，证明：对任意非负实数s及t，有 P(X≥s+t|X≥s)=P(X≥t)． 这个性质叫做指数分布的无记忆性． (Ⅱ)设电视机的使用年数X服从指数分布e(0．1)，某人买了一台旧电视机，求还能使用5年以上

admin2016-01-12  104
问题 (I)设随机变量x服从指数分布e(λ)，证明：对任意非负实数s及t，有
    P(X≥s+t|X≥s)=P(X≥t)．
这个性质叫做指数分布的无记忆性．
    (Ⅱ)设电视机的使用年数X服从指数分布e(0．1)，某人买了一台旧电视机，求还能使用5年以上的概率．
选项
答案(I)已知随机变量X服从指数分布，对于任意的非负实数，根据指数分布的分布函数F(x) =1一e-λx，根据结论 [*] 对任意非负实数s及t，有 [*] 因为X是连续的随机变量，根据分布函数的定义，对任意实数x，有 P(X＜x)=P(X≤x)=F(x)． P(X≥t)=1一P(X＜t)=1一P(X≤t)=1一F(t)=1一(1一e-λt)=e-λt，因此可得P(x≥s+t|X≥s)=P(X≥t)成立． (Ⅱ)已知电子仪器的使用年数服从指数分布X—e(0．1)，则其概率分布函数为 [*] 根据(I)的结论， P(X≥s+t |X≥s)=P(X≥t)=e-λt， 假设某人买回来的电视机已经用了x年，则它还可以使用五年以上的概率为 P(X≥x+5 | X≥5)=P(X≥5)=e-0.1×5=e-0.5≈0．6065．
解析
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考研数学三

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