2. 考研
  3. (1)叙述二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微及微分dz｜x0－y0的定义； (2)证明下述可微的必要条件定理：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则fx’(x0，y0)与fy’(x0，y0)都存在，且dz｜x0－y0=fx’(

(1)叙述二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微及微分dz｜x0－y0的定义； (2)证明下述可微的必要条件定理：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则fx’(x0，y0)与fy’(x0，y0)都存在，且dz｜x0－y0=fx’(

admin2018-09-25  67
问题 (1)叙述二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微及微分dz｜x0－y0的定义；
    (2)证明下述可微的必要条件定理：设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则fx’(x0，y0)与fy’(x0，y0)都存在，且dz｜x0－y0=fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y；
    (3)请举例说明(2)的逆定理不成立．
选项
答案(1)定义：设z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域U内有定义，且(x0+△x，y0+△y)∈U，则增量 △z=f(x0+△x，y0+△y)－f(x0，y0)[*]A△x+B△y+o(ρ)， (*) 其中A，B与△x，△y都无关， [*] 则称f(x，y)在点(x0，y0)处可微， 并称A△x+B△y为z=f(x，y)在点(x0，y0)处的全微分，记为dz｜(x0，y0)=A△x+B△y． (2)设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则(*)式成立，令△y=0，于是 [*] 证明了fx’(x0，y0)与fy’(x0，y0)存在，并且dz｜(x0，y0)=fx’(x0，y0)△x+fy’(x0，y0)△y． (3)(2)的逆定理不成立，反例 [*] fy’ (0，0)=0都存在，但在点(0，0)处f(x，y)不可微．
解析
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考研数学一

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