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  3. 二阶常系数非齐次线性微分方程y’’－2y’+5y=excos2x的通解为y(x)=________。

二阶常系数非齐次线性微分方程y’’－2y’+5y=excos2x的通解为y(x)=________。

admin2021-05-19  67
问题 二阶常系数非齐次线性微分方程y’’－2y’+5y=excos2x的通解为y(x)=________。
选项
答案ex(C1cos2x+C2sin2x)+[*]xexsin2x，其中C1，C2为任意常数
解析 该方程的齐次方程所对应的特征方程为λ2一2λ+5=0，解得特征根为λ=1±2i，可知齐次方程的通解为
ex(C1cos2x+C2sin2x)。
该方程的非齐次项
excos2x=exexcos2x，
根据叠加原理
y’’一2y’+5y=excos2x=excos2x，
此方程的特解可由如下两个方程的特解相加求得，
y’’一2y’+5y=ex，    (1)
y’’一2y’+5y=excos2x，    (2)
根据特征根λ=1±2i可知，方程(1)的特解可设为y1*=Cex代入方程(1)解得C=，
故y1*=ex；方程(2)的特解可设为
y2*=xex(Acos2x+Bsin2x)，
代入方程(2)解得A=0，B=xexsin2x。
则y*(x)=y1*+y2*=xexsin2x。
故该方程的通解为
ex(C1cos2x+C2sin2x)+xexsin2x。
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考研数学二

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