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  3. 设f在[0，+∞)上可微，且0≤f’(x)≤f(x)，f(0)=0．证明；在[0，+∞)上f(x)≡0．

设f在[0，+∞)上可微，且0≤f’(x)≤f(x)，f(0)=0．证明；在[0，+∞)上f(x)≡0．

admin2022-11-23  46
问题 设f在[0，+∞)上可微，且0≤f’(x)≤f(x)，f(0)=0．证明；在[0，+∞)上f(x)≡0．
选项
答案令g(x)=e-xf(x)，x∈[0，+∞)，则g(0)=0．g(x)≥0．因为f’(x)≤f(x)，所以 g’(x)=e-xf’(x)-e-xf(x)=e-x(f’(x)-f(x))≤0，x∈[0，+∞)． 因此，g为[0，+∞)上的递减函数，于是，0≤g(x)≤g(0)=0，x∈[0，+∞)，故g(x)≡0，由此得在[0，+∞)上f(x)≡0．
解析
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考研数学一

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