2. 考研
  3. 设f(x)在[0,1]连续可导，且f(0)=0.证明：存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)=2∫01f(x)dx.

设f(x)在[0,1]连续可导，且f(0)=0.证明：存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)=2∫01f(x)dx.

admin2022-08-19  56
问题 设f(x)在[0,1]连续可导，且f(0)=0.证明：存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)=2∫01f(x)dx.
选项
答案因为f′(x)在区间[0，1]上连续，所以f′(x)在区间[0，1]上取到最大值M和最小值m，对f(x)-f(0)=f′(c)x(其中c介于0与x之间)两边积分得 ∫01f(x)dx=∫0xf′(c)xdx， 由m≤f′(c)≤M得m∫01xdx≤∫01f′(c)xdx≤M∫01xdx， 即m≤2∫01f′(c)xdx≤M或m≤2∫01f(x)dx≤M， 由介值定理，存在ξ∈[0，1]，使得f′(ξ)=2∫01f(x)dx.
解析
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考研数学三

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