设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则 ①若A可逆，则B可逆； ②若B可逆，则A+B可逆； ③若A+B可逆，则AB可逆； ④A一E恒可逆。上述命题中，正确的个数为（）

admin2020-03-24 60

问题设A，B均为n阶矩阵，且AB=A+B，则
①若A可逆，则B可逆；
②若B可逆，则A+B可逆；
③若A+B可逆，则AB可逆；
④A一E恒可逆。
上述命题中，正确的个数为（）

选项 A、1
B、2
C、3
D、4

答案D

解析由AB=A+B，有（A—E）B=A。若A可逆，则
|（A—E）B|=|A—E|×|B|=|A|≠0，
所以|B|≠0，即矩阵B可逆，从而命题①正确。
同命题①类似，由B可逆可得出A可逆，从而AB可逆，那么A+B=AB也可逆，故命题②正确。
因为AB=A+B，若A+B可逆，则有AB可逆，即命题③正确。
对于命题④，用分组因式分解，即
AB—A—B+E=E，则有（A—E）（B一E）=E，
所以得A—E恒可逆，命题④正确。
所以应选D。

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考研数学三

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