证明：二次型f(x)=xTAx在｜｜x｜｜=1时的最大值为矩阵A的最大特征值．

admin2016-05-31 48

问题证明：二次型f(x)=x^TAx在｜｜x｜｜=1时的最大值为矩阵A的最大特征值．

选项

答案A为实对称矩阵，则存在一正交矩阵T，使得 TAT^-1=diag(λ₁，λ₂，…，λ_n)=A，其中λ₁，λ₂，…，λ_n为A的特征值，不妨设λ₁最大．作正交变换y=Tx，即x=T^-1y，其中T是正交矩阵，因此T^-1=T^T有f=x^TAx=y^TTAT^Ty=y^TAy=[*] 因为y=Tx，所以当｜｜x｜｜=1时，有｜｜x｜｜²=x^Tx=y^TTT^Ty=｜｜y｜｜²=1，即[*]=1．因此 [*] 又当y₁=1，y₂=y₃=…=y_n=0时，f=λ₁，所以f_max=λ₁．

解析

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考研数学三

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