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  3. 设f(x)在(0，＋∞)二阶可导且f(x)，f’’(x)在(O，＋∞)上有界，求证：f’(x)在(0，＋∞)上有界．

设f(x)在(0，＋∞)二阶可导且f(x)，f’’(x)在(O，＋∞)上有界，求证：f’(x)在(0，＋∞)上有界．

admin2017-08-18  73
问题 设f(x)在(0，＋∞)二阶可导且f(x)，f’’(x)在(O，＋∞)上有界，求证：f’(x)在(0，＋∞)上有界．
选项
答案按条件，联系f(x)，f’’(x)与f’(x)的是带拉格朗日余项的n阶泰勒公式． [*]x＞0，h＞0有 f(x＋h)＝f(x)＋f’(x)h＋[*]f’’(ξ)h2， 其中ξ∈(x，x＋h)．特别是，取h＝1，ξ∈(x，x＋1)，有 f(x＋1)＝f(x)＋f’(x)＋[*]f’’(ξ)，即f’(x)＝f(x＋1)—f(x)—[*]f’’(ξ) 由题设，｜f(x)｜≤M0，｜f’’(x)｜≤M2([*]x∈(0，＋∞))，M0，M2为常数，于是有 [*] 即f’(x)在(0，＋∞)上有界．
解析
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考研数学一

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