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  3. 空间n个点Pi(xi，yi，zi)，i=1，2，…，n；n≥4．矩阵的秩记为r，则n个点共面的充分必要条件是 ( )

空间n个点Pi(xi，yi，zi)，i=1，2，…，n；n≥4．矩阵的秩记为r，则n个点共面的充分必要条件是 ( )

admin2014-04-23  69
问题 空间n个点Pi(xi，yi，zi)，i=1，2，…，n；n≥4．矩阵的秩记为r，则n个点共面的充分必要条件是    (    )
选项 A、r=1
B、r=2
C、r=3
D、1≤r≤3
答案D
解析 先举例说明为什么不选A、B、C．例子如下：取点P1(1，1，1)，P2(2，2，2)，P3(3，3，3)，P4(4，4，4)．此4点在一条直线上，显然共面．矩阵

的秩为2，所以不选A、C．又如P1(1，0，0)，P2(0，1，0)，P3(0，0，1)，
共面(共面方程x+y+z=1)，矩阵的秩为3，不选A、B．以下证明D是正确的．证明如下：设这n个点共面，则其中任取4个点，例如P1，P2，P3与P4也必共面．于是

其中最后一个行列式为零来自于三点式平面方程．所以1≤r≤3．反之，设1≤r≤3，则A中任取一个4阶矩阵，其对应的行列必为零，因此任意4点必共面，所以这n个点必共面．证毕．
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考研数学一

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