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  3. 设0＜x0＜1，xn+1=xn(2－xn)，求证：{xn}收敛并求xn．

设0＜x0＜1，xn+1=xn(2－xn)，求证：{xn}收敛并求xn．

admin2018-06-15  69
问题 设0＜x0＜1，xn+1=xn(2－xn)，求证：{xn}收敛并求xn．
选项
答案令f(x)=x(2－x)，则xn+1=f(xn)．易知 f’(x)=2(1－x)＞0，x∈(0，1)． 因0＜x0＜1[*]x1=x0(2－x0)=1－(x0－1)2∈(0，1)． 若xn∈(0，1)[*]xn+1=xn(2－xn)∈(0，1)． 又x1－x0=x0(1－x0)＞0[*]{xn}单调上升且有界[*]ヨ极限[*]xn=a． 由递归方程得a=a(2－a)．显然a＞0[*]a=1．因此[*]xn=1．
解析
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考研数学一

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