设f(x)连续，且∫0xtf(2x一t)dt=arctanx3，f(1)=1，求∫12f(x)dx。

admin2018-01-30 99

问题设f(x)连续，且∫₀^xtf(2x一t)dt=arctanx³，f(1)=1，求∫₁²f(x)dx。

选项

答案令2x—t=μ，则原等式变为 ∫_x^2x(2x一μ)f(μ)dμ=arctanx³，即2x∫_x^2xf(μ)dμ—∫_x^2xμf(μ)dμ=arctan(x³)，两边同时对x求导，可得2∫_x^2xf(μ)dμ—xf(x)=[*]。令x=1，则上面的等式可以化为2∫₁²f(μ)dμ一f(1)=[*]，根据已知条件f(1)=1可知∫₁²f(x)dx=[*]。

解析

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考研数学二

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设函数y(x)由参数方程确定，求曲线y=y(x)向上凸的x取值.
证明：
已知f(x)是周期为5的连续函数，它在x=0的某个邻域内满足关系式f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+a(x)，其中a(x)是当x→0时比x高阶的无穷小，且f(x)在x=1处可导，求曲线y=(x)在点(6，f(6))处的切线方程．

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