设A是三阶实对称矩阵，满足A3=2A2+5A-6E，且kE+A是正定矩阵，则k的取值范围是_______。

admin2018-01-26 38

问题设A是三阶实对称矩阵，满足A³=2A²+5A-6E，且kE+A是正定矩阵，则k的取值范围是_______。

选项

答案k＞2

解析将A³=2A²+5A-6E变形可得
A³-2A²-5A+6E=O。
设A有特征值λ，则λ满足
λ³-2λ²-5λ+6=0，
因式分解得λ³-2λ²-5λ+6=(λ-1)(λ+2)(λ-3)=0，
故A的特征值是1，=2，3，因此kE+A的特征值为k+1，k-2，k+3。由于kE+A是正定矩阵，因此kE+A的特征值均大于零，故k＞2。

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