设曲线y=y(x)过(0，0)点，M是曲线上任意一点，MP是法线段，P点在z轴上，已知MP的中点在抛物线2y2=x上，求此曲线的方程．

admin2021-01-14 108

问题设曲线y=y(x)过(0，0)点，M是曲线上任意一点，MP是法线段，P点在z轴上，已知MP的中点在抛物线2y²=x上，求此曲线的方程．

选项

答案设M(x，y)，则法线方程为 [*] 令Y=0得X=yy’+x，于是P点坐标为(yy’+x，0)． MP的中点坐标为[*]，它位于给定的抛物线上．于是有方程y²=yy’+2x，即[*]一2y²=一4x，所以y²e^-2x=2xe^-2x+e^-2x+C．由y(0)=0得C=一1，所求曲线方程为y²=1+2x—e^2x．

解析

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