设a是常数，考虑积分． (Ⅰ)证明上述积分总是收敛的； (Ⅱ)求上述积分的值．

admin2020-03-08 33

问题设a是常数，考虑积分

．
(Ⅰ)证明上述积分总是收敛的；
(Ⅱ)求上述积分的值．

选项

答案(Ⅰ)设α≥0，则题给被积函数在区间[0，＋∞)上连续且为正，且 [*] 左边积分随X的增大而增大，但积分值小于[*]L44存在，即 [*] 收敛．若α＜0，有[*]，所以x＝0不是瑕点，为讨论x→＋∞的情形，令α＝－β，β＞0，于是[*] 仍有[*] 与上面讨论类似，知[*]收敛，从而[*]收敛．综上，无论α≥0还是α＜0，所给积分都收敛． (Ⅱ)作积分变量代换，令[*]， [*] 【注】本题的反常积分判断敛散性并未超纲．

解析

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