已知矩阵A=的特征值有重根，判断A能否相似对角化，并说明理由．

admin2017-07-26 69

问题已知矩阵A=

的特征值有重根，判断A能否相似对角化，并说明理由．

选项

答案由A的特征多项式｜λE一A｜=[*]=(λ一2)(λ²一8λ+10+a)，若λ=2是重根，则λ²一8λ+10+a中含有λ一2的因式，于是2²一16+10+a=0，得a=2．此时λ²一8λ+12=(λ一2)(λ一6)．矩阵A的3个特征值是2(二重根)，6．对于λ=2，由 r(2E—A)=[*]=1，知A可以相似对角化．若λ=2不是重根，则λ²一8λ+10+a是完全平方，于是 8²=4(10+a)，得a=6， λ=4(二重根)，对于λ=4，由于 r(4E—A)=[*]=2≠1，故a=6时，A不能相似对角化．

解析

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考研数学三

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