设λ0为A的特征值． (1)证明：AT与A特征值相等； (2)求A2，A2+2A+3E的特征值； (3)若｜A｜≠0，求A-1，A*，E-A-1的特征值．

admin2019-08-28 82

问题设λ₀为A的特征值．
(1)证明：A^T与A特征值相等；
(2)求A²，A²+2A+3E的特征值；
(3)若｜A｜≠0，求A^-1，A^*，E-A^-1的特征值．

选项

答案(1)因为｜λE-A^T｜=｜(λE-A)^T｜=｜λE-A｜，所以A^T与A的特征值相等． (2)因为Aα=λ₀α(α≠0)，所以A²α=λ²Aα-λ₀²α，(A²+2A+3E)α-(λ₀²+2λ₀+3)α，于是A²，A²+2A+3E的特征值分别为λ₀²，λ₀²+2λ₀+3． (3)因为｜A｜=λ₁λ₂…λ_n≠0，所以λ₀≠0，由Aα=λ₀α得A^-1α=[*]，由A^*Aa=｜A｜α得A^*α=[*]，又(E-A^-1)α=[*] 于是A^-1，A^*，E-A^-1的特征值分别为[*]

解析

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考研数学三

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