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  3. 已知A＝，二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χT(ATA)χ的秩为2， (1)求实数a的值； (2)求正交变换χ＝Qy将f化为标准形．

已知A＝，二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χT(ATA)χ的秩为2， (1)求实数a的值； (2)求正交变换χ＝Qy将f化为标准形．

admin2016-05-09  56
问题 已知A＝，二次型f(χ1，χ2，χ3)＝χT(ATA)χ的秩为2，
    (1)求实数a的值；
    (2)求正交变换χ＝Qy将f化为标准形．
选项
答案(1)ATA＝[*]，由r(ATA)＝2可得， ｜AA｜＝[*]＝(a＋1)2(a2＋3)＝0 可得a＝－1． (2)由(1)中结果，则 f＝χTATAχ＝(χ1，χ2，χ3)[*] ＝2χ12＋2χ22＋4χ32＋4χ1χ3＋4χ2χ3． 令矩阵[*] ｜λE－B｜＝[*]＝λ(λ－2)(λ－6)＝0， 解得B矩阵的特征值为λ1＝0，λ2＝2，λ3＝6． 对于λ1＝0，解(λ1E－B)χ＝0，得对应的特征向量为：η1＝[*] 对于λ2＝2，解(λ2E－B)χ＝0，得对应的特征向量为：η2＝[*] 对于λ3＝6，解(λ3E－B)χ＝0，得对应的特征向量为：η3＝[*] 将η1，η2，η3单位化可得： [*] 令χ＝Qy可将原二次型化为2y22＋6y33．
解析
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考研数学一

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