设二次型f(x1，x2，x3)﹦xTAx﹦ax12﹢6x22﹢3x32－4x1x2－8x1x3－4x2x3，其中－2是二次型矩阵A的一个特征值。 (I)求a的值； (Ⅱ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换。

admin2019-01-22 61

问题设二次型f(x₁，x₂，x₃)﹦x^TAx﹦ax₁²﹢6x₂²﹢3x₃²－4x₁x₂－8x₁x₃－4x₂x₃，其中－2是二次型矩阵A的一个特征值。
(I)求a的值；
(Ⅱ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换。

选项

答案(I)题干所给二次型f对应的矩阵A﹦[*]，已知λ﹦－2是A的特征值，因此有 [*] 得到a﹦3。 (Ⅱ)由矩阵A的特征多项式｜λE－A｜﹦[*]﹦(λ－7)²(λ﹢2)，矩阵A的特征值是λ₁﹦λ₂﹦7，λ₃﹦－2。对于λ﹦7，齐次方程组(7E－A)x﹦0的基础解系为[*] 对于λ﹦－2，齐次方程组(－2E－A)x﹦0的基础解系为α₃﹦[*] 因为α₁，α₂不正交，故需正交化，有 [*] 那么令Q﹦(γ₁，γ₂，γ₃)﹦[*]，则在正交变换x﹦Qy下，有 x^TAx﹦y^TAy﹦7y₁²﹢7y₂²－2y₃²。本题考查二次型的标准化及正定矩阵的判断。先根据－2是一个特征值求出口的值，然后代入求二次型矩阵，并求特征值和特征向量，利用施密特正交化方法得正交矩阵，求出标准形和所用的正交变换。

解析

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考研数学一

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设二次型f(x1，x2，x3)﹦xTAx﹦ax12﹢6x22﹢3x32－4x1x2－8x1x3－4x2x3，其中－2是二次型矩阵A的一个特征值。 (I)求a的值； (Ⅱ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换。

考研数学一

设3阶矩阵A有3个特征向量η1=(1，1，1)T，η2=(1，2，4)T，η3=(1，3，9)T，它们的特征值依次为、1，2，3．又设α=(1，1，3)T，求Anα．

设A是正定矩阵，B是实对称矩阵，证明AB相似于对角矩阵．

设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，记Y=a(X1—2X2)2+b(3X3—4X4)2，其中a，b为常数．已知Y～χ2(n)，则

设半径为R的球面∑的球心在定球面x2＋y2＋z2＝a2(a＞O)上，问R为何值时球面∑在定球面内部的那部分面积最大?

计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分I＝(x＋y＋z)dV，其中Ω：x2＋y2＋z2≤2az，≤z(a＞0)．

已知总体X服从瑞利分布，其密度函数为X1，…，Xn为取自总体X的简单随机样本，求θ的矩估计量，并问这个估计量是否为无偏估计量?

设离散型随机变量X的概率分布为P{X＝i}＝cpi，i＝1，2，…，其中c＞0是常数，则

将一颗骰子重复投掷n次，随机变量X表示出现点数小于3的次数，y表示出现点数不小于3的次数．求3X＋y与X一3y的相关系数．

求椭圆=1所围成的公共部分的面积．

计算曲面积分(x3+z)dydz+(y3+x)dzdx+dxdy，其中∑是曲线(｜x｜≤1)绕x轴旋转一周所得到的曲面，取外侧．

端坐呼吸的概念是

患儿，男，2岁。初起发热、流涕、咳嗽，咳嗽以入夜为甚，咳声不扬，尚未发生痉咳，舌苔薄白。治疗首选方剂为（　　）。

当获证企业发生质量体系存在严重不符合规定或在认证暂停的规定期限未予整改的，认证机构作出(　　)的决定。

在我国首次提出会计电算化的时间是()年。

保险公司用自有资金及银监会规定的可用于投资的资金进行投资，其可投资的证券包括()。

企业弥补亏损的渠道主要有()。

企业根据市场价格的变动，自行调整财产物资的账面价值，这违背了财务会计的(　　)计量属性。

下列选项中，属于法治基本原则的有()。(2011年真题)

Howmuchisalargebottleofaspirin?

Sheistooshytoaskastrangerthetime,______speaktoaroomofpeople.

设二次型f(x1，x2，x3)﹦xTAx﹦ax12﹢6x22﹢3x32－4x1x2－8x1x3－4x2x3，其中－2是二次型矩阵A的一个特征值。 (I)求a的值； (Ⅱ)试用正交变换将二次型f化为标准形，并写出所用的正交变换。

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设3阶矩阵A有3个特征向量η1=(1，1，1)T，η2=(1，2，4)T，η3=(1，3，9)T，它们的特征值依次为、1，2，3．又设α=(1，1，3)T，求Anα．

设A是正定矩阵，B是实对称矩阵，证明AB相似于对角矩阵．

设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，记Y=a(X1—2X2)2+b(3X3—4X4)2，其中a，b为常数．已知Y～χ2(n)，则

设半径为R的球面∑的球心在定球面x2＋y2＋z2＝a2(a＞O)上，问R为何值时球面∑在定球面内部的那部分面积最大?

计算下列三重积分或将三重积分化成累次积分I＝(x＋y＋z)dV，其中Ω：x2＋y2＋z2≤2az，≤z(a＞0)．

已知总体X服从瑞利分布，其密度函数为X1，…，Xn为取自总体X的简单随机样本，求θ的矩估计量，并问这个估计量是否为无偏估计量?

设离散型随机变量X的概率分布为P{X＝i}＝cpi，i＝1，2，…，其中c＞0是常数，则

将一颗骰子重复投掷n次，随机变量X表示出现点数小于3的次数，y表示出现点数不小于3的次数．求3X＋y与X一3y的相关系数．

求椭圆=1所围成的公共部分的面积．

计算曲面积分(x3+z)dydz+(y3+x)dzdx+dxdy，其中∑是曲线(｜x｜≤1)绕x轴旋转一周所得到的曲面，取外侧．

端坐呼吸的概念是

患儿，男，2岁。初起发热、流涕、咳嗽，咳嗽以入夜为甚，咳声不扬，尚未发生痉咳，舌苔薄白。治疗首选方剂为（ ）。

当获证企业发生质量体系存在严重不符合规定或在认证暂停的规定期限未予整改的，认证机构作出( )的决定。

在我国首次提出会计电算化的时间是()年。

保险公司用自有资金及银监会规定的可用于投资的资金进行投资，其可投资的证券包括()。

企业弥补亏损的渠道主要有()。

企业根据市场价格的变动，自行调整财产物资的账面价值，这违背了财务会计的( )计量属性。

下列选项中，属于法治基本原则的有()。(2011年真题)

Howmuchisalargebottleofaspirin?

Sheistooshytoaskastrangerthetime,______speaktoaroomofpeople.

患儿，男，2岁。初起发热、流涕、咳嗽，咳嗽以入夜为甚，咳声不扬，尚未发生痉咳，舌苔薄白。治疗首选方剂为（　　）。

当获证企业发生质量体系存在严重不符合规定或在认证暂停的规定期限未予整改的，认证机构作出(　　)的决定。

企业根据市场价格的变动，自行调整财产物资的账面价值，这违背了财务会计的(　　)计量属性。