2. 考研
  3. 求抛物面z=1+x2+y2的一个切平面，使该切平面与抛物面及圆柱面(x-1)2+y2=1围成的立体的体积最小，并求出最小体积．

求抛物面z=1+x2+y2的一个切平面，使该切平面与抛物面及圆柱面(x-1)2+y2=1围成的立体的体积最小，并求出最小体积．

admin2021-02-25  104
问题 求抛物面z=1+x2+y2的一个切平面，使该切平面与抛物面及圆柱面(x-1)2+y2=1围成的立体的体积最小，并求出最小体积．
选项
答案设切点为M0(x0，y0，1+x20+y20)．则抛物面在点M0处的切平面方程为 2x0(x-x0)+2y0(y-y0)-[z-(1+x20+y20)]=0， 即z=2x0x+2y0y+(1-x20-y20)． 所求体积的立体是以此切平面为底，抛物面z=1+x2+y2为顶，(x-1)2+y2=1为侧面的柱体，所以由二重积分的几何意义知 [*] 解方程组[*]解得x0=1，y0=0 又[*]，即AC-B2＞0，A＞0，故Vmin=V(1，0)=π/2 此时切平面方程为z=2x
解析
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考研数学二

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