2. 考研
  3. 设A是3阶矩阵，满足 Aα1=一α1，Aα2=α1+2α2，Aα3=α1+3α2+α3， 其中α1=[0，1，1]T，α2=[1，0，1]T，α3=[1，1，0]T． 证明A相似于对角矩阵A，求A，并求可逆矩阵P，使得P-1AP=A．

设A是3阶矩阵，满足 Aα1=一α1，Aα2=α1+2α2，Aα3=α1+3α2+α3， 其中α1=[0，1，1]T，α2=[1，0，1]T，α3=[1，1，0]T． 证明A相似于对角矩阵A，求A，并求可逆矩阵P，使得P-1AP=A．

admin2018-08-22  89
问题 设A是3阶矩阵，满足
        Aα1=一α1，Aα2=α1+2α2，Aα3=α1+3α2+α3，
其中α1=[0，1，1]T，α2=[1，0，1]T，α3=[1，1，0]T．
证明A相似于对角矩阵A，求A，并求可逆矩阵P，使得P-1AP=A．
选项
答案由题设条件，合并得 A[α1，α2，α3]=[一α1，α1+2α2，α1+3α2+α3] [*] 其中[*]Q可逆，[*] 则有AQ=QB，Q-1AQ=B，即A～B，所以A和B有相同的特征值． [*] 故A，B有特征值λ1=一1，λ2=2，λ3=1，λ1，λ2，λ3互不相同．故[*] 当λ1=一1时，(λ1E-B)X=0， [*] 当λ2—2时，(λ2E-B)X=0， [*] 当λ3=1时，(λ3E-B)X=0， [*] 故有[*]使得[*]则 [*]
解析
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考研数学二

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