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设A是3阶矩阵,满足 Aα1=一α1,Aα2=α1+2α2,Aα3=α1+3α2+α3, 其中α1=[0,1,1]T,α2=[1,0,1]T,α3=[1,1,0]T. 证明A相似于对角矩阵A,求A,并求可逆矩阵P,使得P-1AP=A.
设A是3阶矩阵,满足 Aα1=一α1,Aα2=α1+2α2,Aα3=α1+3α2+α3, 其中α1=[0,1,1]T,α2=[1,0,1]T,α3=[1,1,0]T. 证明A相似于对角矩阵A,求A,并求可逆矩阵P,使得P-1AP=A.
admin
2018-08-22
100
问题
设A是3阶矩阵,满足
Aα
1
=一α
1
,Aα
2
=α
1
+2α
2
,Aα
3
=α
1
+3α
2
+α
3
,
其中α
1
=[0,1,1]
T
,α
2
=[1,0,1]
T
,α
3
=[1,1,0]
T
.
证明A相似于对角矩阵A,求A,并求可逆矩阵P,使得P
-1
AP=A.
选项
答案
由题设条件,合并得 A[α
1
,α
2
,α
3
]=[一α
1
,α
1
+2α
2
,α
1
+3α
2
+α
3
] [*] 其中[*]Q可逆,[*] 则有AQ=QB,Q
-1
AQ=B,即A~B,所以A和B有相同的特征值. [*] 故A,B有特征值λ
1
=一1,λ
2
=2,λ
3
=1,λ
1
,λ
2
,λ
3
互不相同.故[*] 当λ
1
=一1时,(λ
1
E-B)X=0, [*] 当λ
2
—2时,(λ
2
E-B)X=0, [*] 当λ
3
=1时,(λ
3
E-B)X=0, [*] 故有[*]使得[*]则 [*]
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/nXj4777K
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考研数学二
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