2. 考研
  3. 求下列三重积分： (Ⅰ)I=dV，其中Ω是球体x2+y2+z2≤R2(h＞R)； (Ⅱ)I=ze(x+y)2dV，其中Ω：1≤x+y≤2，x≥0，y≥0，0≤z≤3； (Ⅲ)I=(x3+y3+z3)dV，其中Ω由半球面x2+y2+z2=2z(z≥1)与锥面

求下列三重积分： (Ⅰ)I=dV，其中Ω是球体x2+y2+z2≤R2(h＞R)； (Ⅱ)I=ze(x+y)2dV，其中Ω：1≤x+y≤2，x≥0，y≥0，0≤z≤3； (Ⅲ)I=(x3+y3+z3)dV，其中Ω由半球面x2+y2+z2=2z(z≥1)与锥面

admin2016-10-26  71
问题 求下列三重积分：
(Ⅰ)I=dV，其中Ω是球体x2+y2+z2≤R2(h＞R)；
(Ⅱ)I=ze(x+y)2dV，其中Ω：1≤x+y≤2，x≥0，y≥0，0≤z≤3；
(Ⅲ)I=(x3+y3+z3)dV，其中Ω由半球面x2+y2+z2=2z(z≥1)与锥面z=围成．
选项
答案(Ⅰ)积分区域Ω是球体，也是旋转体，结合被积函数特点，还是选用柱坐标变换，并选用先r，z的积分顺序．极角为θ的半平面交Ω得平面区域D(θ)为已知(图9．58)，于是 [*] [*] (Ⅱ)Ω可表成：Ω：0≤z≤3，(x，y)∈Dxy，其中Dxy={(x，y)｜x≥0,y≥0，1≤x+y≤2}，Dxy如图9．59．于是I=[*]e(x+y)2dxdy． [*] 这里先x后y和先y后x的积分顺序均不可行．作极坐标变换，则Dxy的极坐标表示为 [*] 于是 [*] (Ⅲ)首先由对称性及奇偶性得I=[*]z3dV． Ω由半球面及锥面围成．用球坐标变换方便，此时Ω表为： 0≤θ≤2π，0≤φ≤[*]，0≤ρ≤2cosφ， 则 [*]
解析
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考研数学一

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