在椭圆的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积最小．

admin2019-02-20 53

问题在椭圆

的第一象限部分上求一点P，使该点处的切线，椭圆及两坐标轴所围图形的面积最小．

选项

答案过椭圆上任意点(x⁰，y⁰)的切线的斜率y’(x⁰)满足 [*] 切线方程为 [*] 分别令y=0与x=0，得x，y轴上的截距： [*] 于是该切线与椭圆及两坐标轴所围图形的面积(图2．14)为 [*] 问题是求：[*]的最小值点，其中[*]将其代入S(x)中，问题可进一步化为求函数f(x)=x²(a²－x²)在闭区间[0，a]上的最大值点．由f’(x)=2x(a²－2x²)=0(x∈(0，a))得a²－2x²=0，[*]注意f(0)=f(0)=0，f(x₀)＞0，故[*]是f(x)在[0，a]的最大值点．因此[*]为所求的点．

解析

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考研数学三

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