2. 考研
  3. (Ⅰ)求y"一7y’+12y=x满足初始条件y(0)=的特解； (Ⅱ)求y"+a2y=8cosbx的通解，其中a＞0，b＞0为常数； (Ⅲ)求y"+4y’+4y=ex的通解，其中a为常数； (Ⅳ)求y"+y=x3一x+2的通解．

(Ⅰ)求y"一7y’+12y=x满足初始条件y(0)=的特解； (Ⅱ)求y"+a2y=8cosbx的通解，其中a＞0，b＞0为常数； (Ⅲ)求y"+4y’+4y=ex的通解，其中a为常数； (Ⅳ)求y"+y=x3一x+2的通解．

admin2017-10-23  109
问题 (Ⅰ)求y"一7y’+12y=x满足初始条件y(0)=的特解；
  (Ⅱ)求y"+a2y=8cosbx的通解，其中a＞0，b＞0为常数；
  (Ⅲ)求y"+4y’+4y=ex的通解，其中a为常数；
  (Ⅳ)求y"+y=x3一x+2的通解．
选项
答案(Ⅰ)对应齐次微分方程的特征方程为λ2一7λ+12=0，它有两个互异的实根λ1=3与λ2=4，所以其通解为 [*](x)=C1e3x+C2e4x，其中C1与C2是两个任意常数． 由于0不是特征根，所以非齐次微分方程的特解应具有形式y*(x)=Ax+B．代入方程可得A=[*]+C1e3x+C2e4x． [*] (Ⅱ)由于对应齐次微分方程的特征根为±ai，所以其通解为[*](x)=C1cosax+C2sinax．求原非齐次微分方程的特解，需分两种情况讨论： ①当a≠b时，特解的形式应为Aeosbx+Bsinbx，将其代入原方程可得 A=[*]，B=0． 所以通解为y(x)=[*]cosbx+C1cosax+C2sinax，其中C1与C2是两个任意常数． ②当a=b时，特解的形式应为Axeosax+Bxsinax，代入原方程可得 A=0．B=[*]． 所以原方程的通解为y(x)=[*]xsinax+C1cosax+C2sinax，其中C1与C2是两个任意常数． (Ⅲ)特征方程是λ2+4λ+4=0，它有相等二实根λ1=λ2=一2，所以其对应齐次微分方程的通解为y(x)=(C1+C2x)e—2x．非齐次微分方程的特解的形式与a是不是特征根有关． 若a≠一2，则应设特解为y*(x)=Aeax，其中A是待定系数．代入方程可得 A(a2+4a+4)eax=eax→[*]， 所以，当a≠一2时通解为y(x)=(C1+C2x)e—2x+[*]，其中C1与C2是两个任意常数． 若a=一2，由于它是重特征根，则应设特解为y*=Ax2e—2x，其中A是待定系数．代入方程可得 A[(2—8x+4x2)+4(2x一2x2)+4x2]e—2x=e—2x，即 2Ae—2x=e—2x． 于是可得出A=[*]．所以，当a=一2时通解为y(x)=(C1+C2x+[*]x2)e—2x(其中C1与C2是两个任意常数)． (Ⅳ)方程的自由项是三次多项式f(x)=x3一x+2，方程的特征根满足2+1=0，从而是共轭复根λ=i和λ=一i．所以，对应齐次微分方程的通解是[*](x)=C1cosx+C2sinx，而非齐次微分方程的特解可取为y*(x)=Ax3+Bx2+Cx+D，代入方程可得待定常数A，B，C，D应满足 Ax3+Bx2+(6A+C)x+2B+D=x3一x+2， 由此可确定A=1，B=0，C=一7，D=2．所以原方程的通解为 y(x)=C1cosx+C2sinx+x3一7x+2，其中C1与C2是两个任意常数．
解析
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考研数学三

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