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设齐次线性方程组有基础解系β1=[b11,b12,b13,b14]T,β2=[b21,b22,b23,b24]T,记α1=[α11,α12,α13,α14]T,α2=[α21,α22,α23,α24]T.证明:向量组α1,α2,β3,β4线性无关.
设齐次线性方程组有基础解系β1=[b11,b12,b13,b14]T,β2=[b21,b22,b23,b24]T,记α1=[α11,α12,α13,α14]T,α2=[α21,α22,α23,α24]T.证明:向量组α1,α2,β3,β4线性无关.
admin
2014-04-23
78
问题
设齐次线性方程组
有基础解系β
1
=[b
11
,b
12
,b
13
,b
14
]
T
,β
2
=[b
21
,b
22
,b
23
,b
24
]
T
,记α
1
=[α
11
,α
12
,α
13
,α
14
]
T
,α
2
=[α
21
,α
22
,α
23
,α
24
]
T
.证明:向量组α
1
,α
2
,β
3
,β
4
线性无关.
选项
答案
由题设条件:β
1
,β
2
线性无关,r(α
1
,α
2
)=2,α
1
,α
2
线性无关,且β
1
,β
2
是方程组的解.满足α
i
T
β
i
=0(i=1,2;j=1,2). (*) 法一 用线性无关定义证.设有数k
1
,k
2
,k
3
,k
4
,使得k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
β
1
+k
4
β
2
=0,(**)两边左乘α
i
T
(i=1,2),且利用(*)式得 [*] (***)(***)式的系数矩阵为 [*] 由,r(A)=r(A
T
A)及α
1
,α
2
线性无关,有 [*] 方程组(***)只有零解,从而得k
1
=k
2
=0.将k
1
,k
2
代入(**)式,因β
1
,β
2
线性无关,得k
3
=k
4
=0,从而得证α
1
,α
2
,β
1
,β
2
线性无关. 法二 r[α
1
,α
2
,β
1
,β
2
]=r([α
1
,α
2
,β
1
,β
2
]
T
[α
1
,α
2
,β
1
,β
2
]) =[*] [*] =r[(α
1
,α
2
)
T
(α
1
,α
2
)]+r[(β
1
,β
2
)
T
(β
1
,β
2
)]=r(α
1
,α
2
)+r(β
1
,β
2
)=2+2=4,故α
1
,α
2
,β
1
,β
2
线性无关.
解析
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考研数学一
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