[2008年]设f(x)是连续函数．利用定义证明函数F(x)=∫0xf(t)dt可导，且F’(x)=f(x).

admin2019-04-08 75

问题 [2008年]设f(x)是连续函数．利用定义证明函数F(x)=∫₀^xf(t)dt可导，且F’(x)=f(x).

选项

答案由导数的定义有[*]，而 F(x+△x)一F(x)=∫₀^x+△xf(t)dt—∫₀^xf(t)dt =∫₀^xf(t)dt+∫₀^x+△xf(t)dt一∫₀^xf(t)dt =∫_x^x+△xf(t)dt=f(ξ)△x(利用积分中值定理)，其中ξ在x与x+△x之间，于是 [*]

解析

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