(I)设f(x)在(0，+∞)可导，f’(x)>0(x∈(0，+∞))，求证f(x)在(0，+∞)单调上升． (Ⅱ)求证：在(0，+∞)单调上升，其中n为正数． (Ⅲ)设数列，求xn．[img][/img]

admin2019-01-25 44

问题 (I)设f(x)在(0，+∞)可导，f’(x)>0(x∈(0，+∞))，求证f(x)在(0，+∞)单调上升．
(Ⅱ)求证：

在(0，+∞)单调上升，其中n为正数．
(Ⅲ)设数列

，求

x_n．[img][/img]

选项

答案(I)对[*] 0＜x₁＜x₂＜+∞，在[x₁，x₂]上可用拉格朗日中值定理得，[*]ξ∈(x₁，x₂)∈(0，+∞)使得 f(x₂)一f(x₁)=f’(ξ)(x₂一x₁)＞0 => f(x₂)＞f(x₁) => f(x)在(0，+∞)↑． (Ⅱ)令g(x)=lnf(x)=-[*] ln(n^x+1)(x>0)，考察 [*] => g(x)在(0，+∞)↑=>f(x)=e^g(x)在(0，+∞)↑． (Ⅲ)用(Ⅱ)的结论对x_n进行适当放大与缩小 [*] 即[*] 由[*] 因此 [*]x_n=1．

解析

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考研数学一

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(I)设f(x)在(0，+∞)可导，f’(x)>0(x∈(0，+∞))，求证f(x)在(0，+∞)单调上升． (Ⅱ)求证：在(0，+∞)单调上升，其中n为正数． (Ⅲ)设数列，求xn．[img][/img]

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