设A为n阶实对称矩阵，满足A2=层，并且r（A+E）=k＜n． ①求二次型xTAx的规范形． ②证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求|B|．

admin2017-11-22 72

问题设A为n阶实对称矩阵，满足A²=层，并且r（A+E）=k＜n．
①求二次型x^TAx的规范形．
②证明B=E+A+A²+A³+A⁴是正定矩阵，并求|B|．

选项

答案①由于A²=E，A的特征值λ应满足λ²=1，即只能是1和—1．于是A+E的特征值只能是2和0．A+E也为实对称矩阵，它相似于对角矩阵Λ，Λ的秩等于r(A+E)=k．于是A+E的特征值是2（后重）和0（n—k重），从而A的特征值是1（k重）和—1（n—k重）．A的正，负关系惯性指数分别为k和n—k，x^TAx的规范形为 y₁²+y₂²+…+y_k²一y_k+1²一…一y_n²， ②B是实对称矩阵，由A²=E，有B= 3E+2A，B的特征值为5（k重）和1（n—k重）都是正数．因此B是正定矩阵． ∴ |B|=5^k．1^n—k= 5^k．

解析

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考研数学三

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设A为n阶实对称矩阵，满足A2=层，并且r（A+E）=k＜n． ①求二次型xTAx的规范形． ②证明B=E+A+A2+A3+A4是正定矩阵，并求|B|．

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