计算三重积分，其中Q是由曲线绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=4所围成的立体．

admin2019-06-04 57

问题计算三重积分

，其中Q是由曲线

绕z轴旋转一周而成的曲面与平面z=4所围成的立体．

选项

答案由曲线[*]绕z轴旋转一周而成的旋转面方程是x²+y²=2z．于是，Ω是由旋转抛物面z=1/2(x²+y²)与平面z=4所围成，曲面与平面的交线是x²+y²=8，z=4．选用柱会标变换，令x=rcosθ，y=rsinθ，z=z并选取先rz后θ的积分顺序，极角为θ的半平面与Ω相截得D(θ)，于是Ω：0≤θ≤2π，(r，z)∈D(θ)，D(θ)：0≤z≤4，0≤r≤[*] 即Ω：0≤θ≤2π，0≤z≤4，0≤r≤[*] 因此[*]

解析

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