设f(x)连续，且F(x)=∫0x(x一2t)f(t)dt．证明： (1)若f(x)是偶函数，则F(x)为偶函数； (2)若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．

admin2019-08-23 43

问题设f(x)连续，且F(x)=∫₀^x(x一2t)f(t)dt．证明：
(1)若f(x)是偶函数，则F(x)为偶函数；
(2)若f(x)单调不增，则F(x)单调不减．

选项

答案(1)设f(一x)=f(x)，因为F(一x)=∫₀^-x(-x一2t)f(t)dt[*]∫₀^x(一x+2u)f(一u)(一du) =∫₀^x(x一2u)f(u)du=F(x)，所以F(x)为偶函数． (2)F(x)=∫₀^x(x一2t)f(t)dt=x∫₀^xf(t)dt一2∫₀^xtf(t)dt， F’(x)=∫₀^xf(t)dt—xf(x)=x[f(ξ)一f(x)]，其中ξ介于0与x之间，当x＜0时，x≤ξ≤0，因为f(x)单调不增，所以F’(x)≥0，当x≥0时，0≤ξ≤x，因为f(x)单调不增，所以F’(x)≥0，从而F(x)单调不减．

解析

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考研数学一

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