2. 考研
  3. 设f（x）连续，且满足f（x）=（x一π）2一∫0x一πtf（x一t）dt，求f（x）．

设f（x）连续，且满足f（x）=（x一π）2一∫0x一πtf（x一t）dt，求f（x）．

admin2016-07-29  29
问题 设f（x）连续，且满足f（x）=（x一π）2一∫0x一πtf（x一t）dt，求f（x）．
选项
答案这是含变限积分的方程，且被积函数又含参变量，所以先作变量替换，转化为被积函数不含参变量的情形．令s=x一t得f(x)=(x一π)2一∫πx(x一s)f(s)ds，即 f(x)=(x一π)2一x∫πxf(s)ds+∫πxsf(s)ds． ① 现把它转化成微分方程问题．①式两边求导得f’(x)=2(x一π)一∫πxf(s)ds． ② 又①式中令x=π得f(π)=0．再对②求导得f"(x)+f(x)=2．在②中令x=π得f’(π)=0． 于是问题转化为求解初值问题 [*] 其中y=f(x)．这是二阶线性常系数方程，显然有常数特解y*=2，于是通解为y=C1cosx+C2sinx+2．由 [*] 解得C1=2，C2=0．因此y=f(x)=2cosx+2．
解析
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考研数学三

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