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设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件为( )．
设n维列向量组α1，α2，…，αm(m＜n)线性无关，则n维列向量组β1，β2，…，βm线性无关的充分必要条件为( )．
admin
2020-09-25
80
问题
设n维列向量组α
1
，α
2
，…，α
m
(m＜n)线性无关，则n维列向量组β
1
，β
2
，…，β
m
线性无关的充分必要条件为( )．
选项
A、向量组α
1
，α
2
，…，α
m
可由向量组β
1
，β
2
，…，β
m
线性表示．
B、向量β
1
，β
2
，…，β
m
可由向量组α
1
，α
2
，…，α
m
线性表示．
C、向量组α
1
，α
2
，…，α
m
与向量组β
1
，β
2
，…，β
m
等价．
D、矩阵A=(α
1
，α
2
，…，α
m
)与矩阵B=(β
1
，β
2
，…，β
m
)等价．
答案
D
解析
A：若向量组α
1
，α
2
，…，α
m
可由向量组β
1
，β
2
，…，β
m
线性表示，则m=R(α
1
，α
2
，…，α
m
)≤R(β
1
，β
2
，…，β
m
)≤m，从而可得R(β
1
，β
2
，…，β
m
)=m，即β
1
，β
2
，…，β
m
线性无关，但反之不一定成立，因为两个向量组秩相等不一定等价．
B：β
1
，β
2
，…，β
m
线性无关并不能推出β
1
，β
2
，…，β
m
可由α
1
，α
2
，…，α
m
线性表示这一结果．
C：两向量组向量个数相同且都线性无关并不能推出两向量组等价．
D：若向量组β
1
，β
2
，…，β
m
线性无关，则R(B)=m，从而可得R(A)=R(B)，而A，B为同型矩阵，所以A与B等价．反之，若A与B等价，则R(A)=R(B)，又由于α
1
，α
2
，…，α
m
线性无关，从而可得R(A)=m，所以R(B)=m，所以β
1
，β
2
，…，β
m
线性无关．
故选D.
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/mPx4777K
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考研数学三
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