已知二次型f(x1，x2，x3)＝5x12＋5x22＋ax32－2x1x2＋6x1x3－6x2x3的秩为2．(1)求参数a以及此二次型对应矩阵的特征值；(2)(数学一)指出方程f(x1，x2，x3)＝1表示何种二次曲面．

admin2020-06-05 63

问题已知二次型f(x₁，x₂，x₃)＝5x₁²＋5x₂²＋ax₃²－2x₁x₂＋6x₁x₃－6x₂x₃的秩为2．(1)求参数a以及此二次型对应矩阵的特征值；(2)(数学一)指出方程f(x₁，x₂，x₃)＝1表示何种二次曲面．

选项

答案(1)此二次型f的矩阵为 A＝[*] 由于二次型f的秩为2，即矩阵A的秩为2，故而｜A｜＝[*]＝24(a－3)＝0 从而a＝3．又当a＝3时，矩阵A的特征多项式｜A－AE｜＝[*]＝﹣λ(λ－4)(λ－9) 所以A的特征值为λ₁＝0，λ₂＝4，λ₃＝9． (2)因为A的特征值为λ₁＝0，λ₂＝4，λ₃＝9，所以必存在正交变换 [*](其中P为正交矩阵) 使二次型在新变量y₁，y₂，y₃下成为标准形f＝4y₂²＋9y₃²，于是，曲面f(x₁，x₂，x₃)＝1在新变量下的方程为4y₂²＋9y₃²＝1，此方程在几何上表示准线是y₂Oy₃₁平面上椭圆、母线平行于y₁轴的椭圆柱面，因此f(x₁，x₂，x₃)＝1也表示椭圆柱面．

解析

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考研数学一

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已知二次型f(x1，x2，x3)＝5x12＋5x22＋ax32－2x1x2＋6x1x3－6x2x3的秩为2．(1)求参数a以及此二次型对应矩阵的特征值；(2)(数学一)指出方程f(x1，x2，x3)＝1表示何种二次曲面．

考研数学一

xOz坐标面上的抛物线z2=x一2绕x轴旋转而成的旋转抛物面的方程是___________．

假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域G={(x，y)｜0≤x≤2,0≤y≤1}上服从均匀分布，记求U和V的相关系数ρ。

设A是m×n矩阵，则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是()

设A，B是任意两个随机事件，又知BA，且P(A)＜P(B)＜1，则一定有()

设函数y1(x)，y2(x)，y3(x)线性无关，而且都是非齐次线性方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)(6．2)的解，C1，C2为任意常数，则该非齐次方程的通解是

设a，b为非零向量，且满足(a+3b)⊥(7a－5b)，(a－4b)⊥(7a－2b)，则a与b的夹角θ=()

设a与b为非零向量，则a×b=0是()

设可导函数f(x)满足方程，则f(x)=()

设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解为X=k(0，一1，3，0)T，则A*X=0的基础解系为()．

要使ξ1=(1，0，2)T，ξ2=(0，1，-1)T都是齐次线性方程组AX=0的解，只要系数矩阵为()

下列各项费用可列入维持费的有()。

Australiaislocatedbetween______andtheIndianOcean.()

在协调人类欲望无限性和资源有限性之间矛盾的过程中产生的是()

下列关于皮肤黏膜消毒剂进行卫生许可检验时的有关内容中，不正确的是

项目投资的控制周期应视项目的规模和特点而定，一般的项目控制周期为(　　)。投资控制包括设计过程的投资控制和施工过程的投资控制，其中前者更为重要。

高尚的学习动机的核心是______。

从所给选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。()

把戏：伎俩：手段

Duringtheearlyyearsofthiscentury,wheatwasseenastheverylifebloodofWesternCanadaPeopleoncitystreetswatchedt

AreWeinanInnovationLull?[A]Scanthehighlightsofthisyear’sConsumerElectronicsShow(CES),andyoumaygetaslightfee

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设A是m×n矩阵，则方程组AX=b有唯一解的充分必要条件是()

设A，B是任意两个随机事件，又知BA，且P(A)＜P(B)＜1，则一定有()

设函数y1(x)，y2(x)，y3(x)线性无关，而且都是非齐次线性方程y"+p(x)y’+q(x)y=f(x)(6．2)的解，C1，C2为任意常数，则该非齐次方程的通解是

设a，b为非零向量，且满足(a+3b)⊥(7a－5b)，(a－4b)⊥(7a－2b)，则a与b的夹角θ=()

设a与b为非零向量，则a×b=0是()

设可导函数f(x)满足方程，则f(x)=()

设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A=(α1，α2，α3，α4)，AX=0的通解为X=k(0，一1，3，0)T，则A*X=0的基础解系为()．

要使ξ1=(1，0，2)T，ξ2=(0，1，-1)T都是齐次线性方程组AX=0的解，只要系数矩阵为()

下列各项费用可列入维持费的有()。

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在协调人类欲望无限性和资源有限性之间矛盾的过程中产生的是()

下列关于皮肤黏膜消毒剂进行卫生许可检验时的有关内容中，不正确的是

项目投资的控制周期应视项目的规模和特点而定，一般的项目控制周期为( )。投资控制包括设计过程的投资控制和施工过程的投资控制，其中前者更为重要。

高尚的学习动机的核心是______。

从所给选项中，选择最合适的一个填入问号处，使之呈现一定的规律性。()

把戏：伎俩：手段

Duringtheearlyyearsofthiscentury,wheatwasseenastheverylifebloodofWesternCanadaPeopleoncitystreetswatchedt

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项目投资的控制周期应视项目的规模和特点而定，一般的项目控制周期为(　　)。投资控制包括设计过程的投资控制和施工过程的投资控制，其中前者更为重要。