一个半径为1，高为3的开口圆柱形水桶，在距底为1处有两个小孔(小孔的面积忽略不计)，两小孔连线与水桶轴线相交，试问该水桶最多能装多少水?

admin2019-01-23 74

问题一个半径为1，高为3的开口圆柱形水桶，在距底为1处有两个小孔(小孔的面积忽略不计)，两小孔连线与水桶轴线相交，试问该水桶最多能装多少水?

选项

答案本题是典型的应用型计算题，也就是首先要考生根据题目的文字表达，翻译出数学表达式，然后进行计算．需要指出的是，这种“动区域(也就是区域是随着某个参数变化而变化”的二重积分并不容易计算，而且本题还要求最值，需要用到导数工具．总之，本题是一道综合性较强的题目，这类问题的区分度在考研中一直很高．首先，考生需要画出示意图．显然，水桶竖直放立时，装水至水面高度为1时，水将从两小孔流出，此时装水量为π×1²×1=π．所以要使水桶多盛水，通过水桶倾斜来增加盛水量．用数学语言来描述，即过两孔连线做一张动平面，问题就是求出动平面与桶底、桶壁围成的部分有最大的体积．如图1．6-4所示． [*] 将两孔A，B连线，过此连线的平面方程为z=ky+1，其中k为参数．设动平面与桶口唯一交点M的坐标为(0，1，t)，代入平面方程，得k=t-1，则以t为参数的动平面的方程为S：z=(t-1)y+1．于是平面S与面xOy的交线为[*]．在倾斜水桶以改变盛水量时，要求此交线要始终在水桶底面上，故[*]，于是可得参数t的取值范围是：2≤t≤3，盛水量为[*]其中D_t=[*]，且要求2≤t≤3．于是问题就翻译如下： [*] V(t)单调增加，故 [*]

解析

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考研数学一

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一个半径为1，高为3的开口圆柱形水桶，在距底为1处有两个小孔(小孔的面积忽略不计)，两小孔连线与水桶轴线相交，试问该水桶最多能装多少水?

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将一颗骰子重复投掷n次，随机变量X表示出现点数小于3的次数，y表示出现点数不小于3的次数．求3X＋y与X一3y的相关系数．

讨论下列函数的连续性并判断间断点的类型：(Ⅰ)y＝(1＋x)arctan；(Ⅱ)y＝；(Ⅲ)y＝；(Ⅳ)f(x)＝(1＋x)，x∈(0，2π)；(Ⅴ)y＝f[g(x)]，其中f(x)＝

设f(x)＝(I)求f’(x)；(Ⅱ)证明：x＝0是f(x)的极大值点；(Ⅲ)令xn＝，考察f’(xn)是正的还是负的，n为非零整数；(Ⅳ)证明：对δ＞0，f(x)在(－δ，0]上不单调上升，在[0，δ]上不单调下降．

设三阶实对称矩阵A的秩为2，λ1=λ2=6是A的二重特征值，若α1=(1，1，0)T，α2=(2，1，1)T，α3=(-1，2，-3)T都是λ属于λ=6的特征向量，求矩阵A。

直线y=x将椭圆x2+3y2=6y分为两块，设小块面积为A，大块面积为B，求的值．

设单位质点在水平面内作直线运动，初速度v｜t=0=v0．已知阻力与速度成正比(比例系数为1)，问t为多少时此质点的速度为?并求到此时刻该质点所经过的路程．

已知(1，a，2)T，(一1，4，6)T构成齐次线性方程组的一个基础解系，求a，b，s，t．

已知函数u=u(x，y)满足方程试选择参数a，b，利用变换u(x，y)v(x，y)eax+by将原方程变形，使新方程中不出现一阶偏导数项．

设L：y=sinx(0≤x≤)，由x=0,L及y=sint围成的区域面积为S1(t)；由L、y=sint及x=围成的区域面积为S2(t)，其中0≤t≤．求S(t)=S1(t)+S2(t)．

曲线y==x4e－x2(x≥0)与x轴围成的区域面积为_________．

异长自身调节(heterometricautoregulation)

三国两晋南北朝时期，立法活动频繁。下列有关法典内容发展变化的表述，哪一项是不准确的?()

建设工程项目设计质量控制包括功能性质量控制、可靠性质量控制、观感性质量控制以及(　　)控制。

公积金个人住房贷款无论采用哪种操作模式，其申请均由各地方公积金管理中心负责审批。

不予受理的旅游投诉的情形()

小王在某知名运动服装城挑选球鞋，试穿多双后，感觉没有合适的，随即打消购买欲望，但销售员李某却以试穿多次、浪费其正常工作时间为由，强迫小王必须购买其中任意一款球鞋。销售员李某在此事件中损害了小王的()。

有下列程序：　　　　#inelude　　＜stdio.h＞　　　　main()　　　　{　　　　　　　　int　x=8;　　　　　　　　for(;x＞0;x--)　　　　　　　　{　　　　　　　　　　　　if(x%3)　{printf("%d,",x--)

Wemaylookattheworldaroundus,butsomehowwemanagenottoseeituntilwhateverwe’vebecomeusedtosuddenlydisappears.

JonathanGlater,avisitingassistantprofessoroflawattheUniversityofCalifornia,Irvine,andaformerreporterattheNew

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直线y=x将椭圆x2+3y2=6y分为两块，设小块面积为A，大块面积为B，求的值．

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已知(1，a，2)T，(一1，4，6)T构成齐次线性方程组的一个基础解系，求a，b，s，t．

已知函数u=u(x，y)满足方程试选择参数a，b，利用变换u(x，y)v(x，y)eax+by将原方程变形，使新方程中不出现一阶偏导数项．

设L：y=sinx(0≤x≤)，由x=0,L及y=sint围成的区域面积为S1(t)；由L、y=sint及x=围成的区域面积为S2(t)，其中0≤t≤．求S(t)=S1(t)+S2(t)．

曲线y==x4e－x2(x≥0)与x轴围成的区域面积为_________．

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有下列程序：　　　　#inelude　　＜stdio.h＞　　　　main()　　　　{　　　　　　　　int　x=8;　　　　　　　　for(;x＞0;x--)　　　　　　　　{　　　　　　　　　　　　if(x%3)　{printf("%d,",x--)