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A是三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是相应的特征向量．证明：向量组A(ξ1+ξ2)，A(ξ2+ξ3)，A(ξ3+ξ1)线性无关的充要条件是A是可逆矩阵．
A是三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是相应的特征向量．证明：向量组A(ξ1+ξ2)，A(ξ2+ξ3)，A(ξ3+ξ1)线性无关的充要条件是A是可逆矩阵．
admin
2019-07-22
56
问题
A是三阶矩阵，λ
1
，λ
2
，λ
3
是三个不同的特征值，ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
是相应的特征向量．证明：向量组A(ξ
1
+ξ
2
)，A(ξ
2
+ξ
3
)，A(ξ
3
+ξ
1
)线性无关的充要条件是A是可逆矩阵．
选项
答案
A(ξ
1
+ξ
2
)，A(ξ
2
+ξ
3
)，A(ξ
3
+ξ
1
)线性无关←→λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
，λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
，λ
3
ξ
3
+λ
1
ξ
1
线性无关 ←→[λ
1
ξ
1
+λ
2
ξ
2
，λ
2
ξ
2
+λ
3
ξ
3
，λ
3
ξ
3
+λ
1
ξ
1
]=[ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
][*]秩为3， 因为ξ
1
，ξ
2
，ξ
3
线性无关，[*]=2λ
1
λ
2
λ
3
≠0←→｜A｜=λ
1
λ
2
λ
3
≠0，A是可逆阵．
解析
转载请注明原文地址:https://www.kaotiyun.com/show/mGN4777K
0
考研数学二
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