2. 考研
  3. 设f(x)在[0，1]上连续且满足f(0)=1，f’(x)-f(x)=a(x-1)．y=f(x)，x=0，x=1，y=0围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(x)．

设f(x)在[0，1]上连续且满足f(0)=1，f’(x)-f(x)=a(x-1)．y=f(x)，x=0，x=1，y=0围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(x)．

admin2021-10-18  59
问题 设f(x)在[0，1]上连续且满足f(0)=1，f’(x)-f(x)=a(x-1)．y=f(x)，x=0，x=1，y=0围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(x)．
选项
答案由f’(x)-f(x)=a(x-1)得f(x)=[a∫(x-1)e∫-1dxdx+C]e-∫-dx=Cex-ax，由f(0)=1得C=1，故f(x)=ex-ax．V’(a)=π∫01f2(x)dx=π[(e2-1)/2-2a+a2/3]，由V’(a)=π(-2+2a/3)=0得a=3，因为V"(a)=2π/3＞0，所以当a=3时，旋转体的体积最小，故f(x)=ex-3x．
解析
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考研数学二

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