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  3. 设3阶矩阵A相似于diag(1，2，3)，且B＝(A－E)(A－2E)(A－3E)，则r(B)＝

设3阶矩阵A相似于diag(1，2，3)，且B＝(A－E)(A－2E)(A－3E)，则r(B)＝

admin2022-06-09  62
问题 设3阶矩阵A相似于diag(1，2，3)，且B＝(A－E)(A－2E)(A－3E)，则r(B)＝
选项
答案0
解析 由A～A，知存在可逆矩阵P，使得P-1AP＝A，故A＝PAP-1，从而
B＝(A－E)(A－2E)(A－3E)
＝(PAP-1－E)(PAP-1－2E)(PAP-1－3E)
＝P(A－E)P-1·P(A－2E)P-1·P(A－3E)P-1
＝P(A－E)(A－2E)(A－3E)P-1
＝P
＝POP-41＝O
由此可知r(B)＝0
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考研数学二

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