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  3. 设f(x)在[0，1]上可导，∫01f(x)dx=∫01x f(x)dx=0，试证：存在点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=0．

设f(x)在[0，1]上可导，∫01f(x)dx=∫01x f(x)dx=0，试证：存在点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=0．

admin2019-01-23  60
问题 设f(x)在[0，1]上可导，∫01f(x)dx=∫01x f(x)dx=0，试证：存在点ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=0．
选项
答案作辅助函数F(x)=∫0xf(t)dt，则F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且F(0)=F(1)=0，又0=∫xf(x)dx=∫01xdF(x)=xF(x)｜01—∫01F(x)dx=0，由积分中值定理， 存在点η∈(0，1)，使得F(η)=0．于是，在[0，η]和[η，1]上分别对F(x)应用洛尔定理，存在点ξ1∈(0，η)，ξ2∈(η，1)，使得f(ξ1)=f(ξ2)=0． 在[ξ1，ξ2]上对f(x)再应用洛尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)[*](0，1)，使得f’(ξ)=0．
解析 证明存在点ξ，使得f’(ξ)=0，可对f(x)用一次洛尔定理，也可对f(x)的原函数∫axf(t)dt用两次洛尔定理．
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