设f(x)为连续的奇函数，且当x＜0时，f(x)＜0，f’(x)≥0．令 φ(x)=∫—11f(xt)dt+∫0xtf(t2一x2)dt，讨论φ(x)在(一∞，+∞)内的凹凸性．

admin2017-07-26 83

问题设f(x)为连续的奇函数，且当x＜0时，f(x)＜0，f’(x)≥0．令
φ(x)=∫_—1¹f(xt)dt+∫₀^xtf(t²一x²)dt，
讨论φ(x)在(一∞，+∞)内的凹凸性．

选项

答案用二阶导数的符号判定．由f(x)为连续的奇函数可知，∫_—a^af(x)dx=0． [*] φ"(x)=f(—x²)一2x²f’(一x²)．由f(x)为奇函数，且f(x)＜0与f’(x)≥0可知，f(一x²)＜0，f’(一x²)≥0．因此，有φ"(x)≤0，x∈(一∞，+∞)，故φ(x)是(一∞，+∞)上的下凸函数．

解析

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考研数学三

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