已知矩阵A=(aij)n×n(n≥2)的秩为n一1，求A的伴随矩阵A*的特征值和特征向量．

admin2021-01-15 0

问题已知矩阵A=(a_ij)_n×n(n≥2)的秩为n一1，求A的伴随矩阵A^*的特征值和特征向量．

选项

答案由A^*A=｜A｜E=O，知A的n一1个线性无关的列向量都是方程组A^*X=0的解向量，即λ=0至少是A^*的n一1重特征值，而上述n一1个列向量即为对应的线性无关的特征向量．又由全部特征值之和等于A₁₁+A₂₂+…+A_nn(A_ij为a_ij的代数余子式)，故A^*的第n个特征值为[*]A_kk，由r(A^*)=1，故A^*的列成比例，不妨设A₁₁≠0，则有常数k₂，…，k_n，使 [*] 于是A₁₁+A₂₂+…+A_nn=A₁₁+k₂A₁₂+…+k_nA_1n，且有 [*] 可推知(A₁₁+A₁₂+…+A_1n)^T为A^*的对应于特征值[*]A_kk的特征向量．

解析

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考研数学一

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