求f(x，y)=x2一y2+2在椭圆域上的最大值与最小值．

admin2021-08-02 75

问题求f(x，y)=x²一y²+2在椭圆域

上的最大值与最小值．

选项

答案f(x，y)=x²—y²+2在区域D=[*]的最值应分为两种情形考虑：在椭圆域D的内部考虑无约束极值问题，在椭圆域D的边界上考虑条件极值．方法一考查f(x，y)=x²—y²+2在区域[*]内的极值．令 [*] 可求得x=0，y=0，即f(x，y)在x²+[*]＜1内有唯一驻点(0，0)．在[*]上，记y²=4—4x²，因此有 f(x，y)=x²一(4—4x²)+2=5x²一2=g(x)，一1≤x≤1，令[*]=10x—0，得x=0．当x=0时，y=±2；当x=±1时，y=0． f(±1，0)=3，f(0，±2)=一2．又 f(0，0)=2．因此f(x，y)在D上的最大值为3，最小值为一2．方法二在区域[*]内解法同方法一．在椭圆[*]上，利用拉格朗日乘数法求极值．设L=x²一y²+2+[*]，由 [*] 求得4个可能的极值点M₁(0，2)，M₂(0，一2)，M₃(1，0)，M₄(一1，0)． f(M₁)一2，f(M₂)=2，f(M₃)一3，f(M₄)=3，又f(0，0)=2，可知f(x，y)在D上的最大值为3，最小值为一2．

解析

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考研数学二

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