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  3. 设函数Q(x，y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数，曲线积分∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，并且对任意t恒有∫(0,0)(t,1)2xyydx+Q(x，y)dy=∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x，y)dy，求Q(x，y)．

设函数Q(x，y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数，曲线积分∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，并且对任意t恒有∫(0,0)(t,1)2xyydx+Q(x，y)dy=∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x，y)dy，求Q(x，y)．

admin2016-01-15  101
问题 设函数Q(x，y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数，曲线积分∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，并且对任意t恒有∫(0,0)(t,1)2xyydx+Q(x，y)dy=∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x，y)dy，求Q(x，y)．
选项
答案根据曲线积分和路径无关的条件，可知 [*] 因此有Q(x,y)=x2+C(y)成立，其中C(y)为待定函数 又因为 ∫(0,0)(t,1)2xydx+Q(x,y)dy=∫01[t2+C(y)]dy=t2+∫01C(y)dy， ∫(0,0)(1,t)2xydx+Q(x,y)dy=∫0t[t2+C(y)]dy=t2+∫0tC(y)dy， 由已知可知 t2+∫01C(y)dy=t+∫0tC(y)dy， 两边对t求导可得2t=1+C(t)，即C(y)=2y一1，因此有 Q(x，y)=x2+2y一1．
解析
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考研数学一

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