2. 考研
  3. 设幂级数anxn在（一∞，+∞）内收敛，其和函数y（x）满足y"一2xy’一4y=0，y（0）=0，y’（0）=1。 （Ⅰ）证明：an+2=an，n=1，2，…； （Ⅱ）求y（x）的表达式。

设幂级数anxn在（一∞，+∞）内收敛，其和函数y（x）满足y"一2xy’一4y=0，y（0）=0，y’（0）=1。 （Ⅰ）证明：an+2=an，n=1，2，…； （Ⅱ）求y（x）的表达式。

admin2017-12-29  51
问题 设幂级数anxn在（一∞，+∞）内收敛，其和函数y（x）满足y"一2xy’一4y=0，y（0）=0，y’（0）=1。
（Ⅰ）证明：an+2=an，n=1，2，…；
（Ⅱ）求y（x）的表达式。
选项
答案（Ⅰ）记[*]n（n一1）anxn—2，代入微分方程y"一2xy’一4y=0有 [*] 故有 （n+2）（n+1）an+2—2nan一4an=0， 即 an+2=[*]an，n=1，2，…。 （Ⅱ）由初始条件y（0）=0，y’（0）=1，知a0=0，a1=1。 于是根据递推关系式an+2=[*]an，有a2n=0，a2n+1=[*]。 故 [*]
解析
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考研数学三

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