设幂级数anxn在（一∞，+∞）内收敛，其和函数y（x）满足y"一2xy’一4y=0，y（0）=0，y’（0）=1。（Ⅰ）证明：an+2=an，n=1，2，…；（Ⅱ）求y（x）的表达式。

admin2017-12-29 70

问题设幂级数

a_nxⁿ在（一∞，+∞）内收敛，其和函数y（x）满足y"一2xy’一4y=0，y（0）=0，y’（0）=1。
（Ⅰ）证明：a_n+2=

a_n，n=1，2，…；
（Ⅱ）求y（x）的表达式。

选项

答案（Ⅰ）记[*]n（n一1）a_nx^n—2，代入微分方程y"一2xy’一4y=0有 [*] 故有（n+2）（n+1）a_n+2—2na_n一4a_n=0，即 a_n+2=[*]a_n，n=1，2，…。（Ⅱ）由初始条件y（0）=0，y’（0）=1，知a₀=0，a₁=1。于是根据递推关系式a_n+2=[*]a_n，有a_2n=0，a_2n+1=[*]。故 [*]

解析

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考研数学三

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