证明：x一[102*]＞0)．

admin2018-06-14 64

问题证明：x一[102*]＞0)．

选项

答案首先证明：当x＞0时ln(1+x)＜x → ln(1+x)一x＜0．引入函数f(x)=ln(1+x)一x，f(x)在[0，+∞)可导，且f(0)=0，f’(x)=[*]x＞0)．从而f(x)在[0，+∞)上单调减少，[*]x＞0必有f(x)＜f(0)=0，即当x＞0时ln(1+x)＜x成立．其次证明：当x＞0时x一[*]x²＜ln(1+x) → ln(1+x)一x+[*]＞0．引入函数g(x)=ln(1+x)一x+[*]，g(x)在[0，+∞)上可导，且g(0)=0，g’(x)=[*]x＞0)．从而g(x)在[0，+∞)上单调增加，[*]x＞0必有g(x)＞g(0)=0．即当x＞0时x一[*]x₁＜ln(1+x)成立．综合即得[*]＜ln(1+x)＜x．

解析

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考研数学三

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