2. 考研
  3. 设y=f(x)是第一象限内连接点A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点。若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为，求f(x)的表达式。

设y=f(x)是第一象限内连接点A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点。若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为，求f(x)的表达式。

admin2020-03-16  105
问题 设y=f(x)是第一象限内连接点A(0，1)，B(1，0)的一段连续曲线，M(x，y)为该曲线上任意一点，点C为M在x轴上的投影，O为坐标原点。若梯形OCMA的面积与曲边三角形CBM的面积之和为，求f(x)的表达式。
选项
答案由题意得 SOCMA=[*][1+f(x)]，SCBM=∫x1f(t)dt， 所以[*] 两边对x求导 [*] 即有 1+f(x)+xf’(x)一2f(x)=x2。 当x≠0时，化简得[*]，即 [*] 此方程为标准的一阶线性非齐次微分方程，其通解为 [*] =x2+1+Cx。 曲线过点B(1，0)，代入上式，得C=一2。所以 f(x)=x2+1—2x=(x一1)2。
解析
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考研数学二

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