设f(x)在区间[0，1]上可导，证明：存在ξ∈(0，1)，使得 2f(ξ)+ξf′(ξ)=0．

admin2018-04-15 54

问题设f(x)在区间[0，1]上可导，

证明：存在ξ∈(0，1)，使得
2f(ξ)+ξf′(ξ)=0．

选项

答案令φ(x)=x²f(x)，由积分中值定理得[*]其中[*]即φ(c)=φ(1)，显然φ(x)在区间[0，1]上可导，由罗尔中值定理，存在ξ∈(c，1)[*](0，1)，使得φ′(ξ)=0．而φ′(x)=2xf(x)+x²f′(x)，所以2ξ(ξ)+ξ²f′(ξ)=0，注意到ξ≠0，故2f(ξ)+ξ′(ξ)=0．

解析

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考研数学三

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