2. 考研
  3. 设3阶矩阵A，B满足关系式AB=A—B且A有三个不同的特征值． 证明：(Ⅰ)AB=BA： (Ⅱ)存在可逆阵P，使得P-1AP，P-1BP同时为对角阵．

设3阶矩阵A，B满足关系式AB=A—B且A有三个不同的特征值． 证明：(Ⅰ)AB=BA： (Ⅱ)存在可逆阵P，使得P-1AP，P-1BP同时为对角阵．

admin2020-12-17  103
问题 设3阶矩阵A，B满足关系式AB=A—B且A有三个不同的特征值．
证明：(Ⅰ)AB=BA：
(Ⅱ)存在可逆阵P，使得P-1AP，P-1BP同时为对角阵．
选项
答案(Ⅰ)由题设 AB=A—B， ① 知 AB—A+B—E=一E， A(B—E)+(B—E)=一E， (A+E)(E一B)=E． ② 即A+E，E一B互为逆矩阵，且 (E—B)(A+E)=E， ③ 从而得 A—B一BA=O， ④ 由①，④式得证AB=BA． (Ⅱ)A有三个不同的特征值，故有三个线性无关的特征向量，设为ξ1，ξ2，ξ3．则有 A(ξ1，ξ2，ξ3)=(λ1ξ1，λ2ξ2，λ3ξ3)=(ξ1，ξ2，ξ3)[*]， 两端左边乘B， BA(ξ1，ξ2，ξ3)=B(ξ1，ξ2，ξ3)[*]． 由(Ⅰ)AB=BA，得 AB(ξ1，ξ2，ξ3)=B(ξ1，ξ2，ξ3)[*]=B(λ1ξ1，λ2ξ2，λ3ξ3)， 得A(Bξi)=λi(Bξi)，i=1，2，3． 若Bξi≠0，则Bξi是A的属于特征值λi的特征向量，因λi是单根，故对应相同的特征值的特征向量成比例．故Bξi=μiξi． 若Bξi=0，则ξi是B的属于特征值0的特征向量．无论何种情况，B都有三个线性无关的特征向量ξi(i=1，2，3)．故A，B同时存在可逆阵P=(ξ1，ξ2，ξ3)，使得P—1AP=[*]．
解析
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考研数学三

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